Notas sobre irracionalidade

Abstract

Neste trabalho exploramos três problemas independentes que tratam de números irracionais. O primeiro se refere à questão da irracionalidade de logaritmos de números reais de base inteira. No segundo problema, estuda-se a natureza (quanto a racionalidade) das raízes reais da equação a x = x a , com a ≥ 2 inteiro não necessariamente primo e da equação a f(x) = (f(x))a , onde a ≥ 2 é um inteiro e f é uma função polinomial com coeficientes inteiros. O terceiro problema examina a questão da comensurabilidade entre a medida do lado e a medida de uma diagonal de um polígono regular. Em última análise, tais problemas se reduzem a decidir pela racionalidade ou irracionali dade de um número real. Duas ferramentas foram essenciais para este fim: o Teorema Fundamental da Aritmética e o critério de pesquisa de raízes racionais de funções polinomiais com coeficientes inteiros. O texto apresenta várias provas de irracionalidade em que foram oportunamente evocados diversos tópicos da matemática. Por fim, é proposta uma de atividade para alunos do Ensino Médio que visa o entendimento de demonstrações geométricas de incomensurabilidade.

In this work we study three independent problems that deal with irrational numbers. The first concerns the question of the irrationality of logarithms of real numbers of integer bases. The second one studies the real roots of the equation a x = x a , with a ≥ 2 integer not necessarily prime and the equation a f(x) = (f(x))a , where a ≥ 2 is an integer and f is a polynomial function with integer coefficients. The third problem analyzes the question of commensurability between the measure of the side and the measure of a diagonal of a regular polygon. In last case, such problems are reduced to deciding on the rationality or irrationality of a real number. Two tools were essential for this purpose: the Fundamental Theorem of Arithmetic and the criterion for the search of rational roots of polynomial functions with integer coefficients. The text presents several proofs of irrationality in which various topics of mathematics were opportunely referred. Finally, a classroom activity is presented that aims at the understanding of geometric demonstrations of incommensurability.