Fractais gerados por inversões no círculo

Abstract

A Geometria Fractal é um ramo recente da Matemática criada por Benoit Mandelbrot em 1975. Essa proporciona modelos matemáticos mais apropriados para a representação de muitos fenômenos da natureza do que as figuras da geometria clássica. Quando se fala em fractais no Ensino Médio, geralmente, trata-se do conjunto de Cantor, do tapete de Sierpinski, da curva de Koch, ou outro exemplo qualquer de fractal linear para empregar a contextualização em alguns assuntos tais como: funções, progressões geométricas, logaritmos, etc.. Dessa forma, pode parecer que as noções de fractal e a de autossemelhança exata estão “casadas”. Porém, há outras classes de fractais. Por exemplo, os fractais gerados por inversões no círculo, os quais diferem fundamentalmente dos fractais autossemelhantes exatos. Esses fractais aparecem na forma de cristais líquidos, insetos, cefalópodes e até alguns tipos de plantas. Assim, pretende-se com este trabalho mostrar que o conceito de fractal é mais amplo do que é difundido, além de, concomitantemente, trabalhar com a inversão no círculo, uma transformação importante e fundamental na demonstração de alguns teoremas de Geometria, mas que não é estudada no Ensino Médio. Para isso, primeiro fala-se dos fractais autossemelhantes exatos e seus exemplos clássicos. A seguir faz-se um estudo sobre inversão no círculo, para finalmente tratar dos fractais gerados por inversões no círculo.

The Fractal Geometry is a recent branch of Mathematics created by Benoit Mandelbrot in 1975. It provides more appropriate mathematical models to represent many phenomena of nature than classical geometric figures. When fractals are taught in high school, the Cantor set, the Sierpinski carpet, the Koch curve, or any other linear fractal example are used to employ contextualization in some subjects such as: functions, geometric progressions, logarithms, etc. Therefore, it may seem that the concepts of fractal and that of self-similarity are connected. But there are other classes of fractals. For instance, fractals generated by circle inversions, which differ fundamentally from the exact self-similar fractals. These fractals appear in the form of liquid crystals, insects, cephalopods and even some types of plants. Thus, the purpose of this work is to show that the concept of fractal is broader than it is widespread, while also, concurrently, working with the circle inversion, an important and fundamental transformation in the demonstration of some theorems of Geometry, but which is not studied in high school. For this purpose, firstly, the concept of the exact self-similar fractals and their classic examples are discussed. Then a study is made about circle inversion, to finally deal with the fractals generated by circle inversions.