O jogo lights out em grafos caminhos, ciclos e sólidos de Platão

Abstract

Esta dissertação estuda o Lights Out, um jogo em que o acionamento de um vértice modifica o seu próprio estado e o estado dos vértices adjacentes a ele. Na versão investigada, cada vértice passa por três estados — 0, 1 e 2, representados respectivamente pelas cores vermelho, amarelo e verde — e o desafio é transformar uma configuração inicialmente toda vermelha em uma configuração toda verde, procurando utilizar o menor número possível de acionamentos. O trabalho analisa como as adjacências entre os vértices interferem na possibilidade de resolver o jogo e nas estratégias necessárias. Para isso, são estudados grafos caminho, grafos ciclo e os grafos dos cinco sólidos de Platão. Nos caminhos e nos ciclos, também são analisadas extensões da transformação considerada para jogos com k estados; entre os sólidos de Platão, a generalização para k estados é obtida para o tetraedro, o hexaedro e o icosaedro, enquanto o octaedro e o dodecaedro permanecem investigados teoricamente na variante de três estados. Como produto educacional e eixo de articulação entre a investigação matemática e sua exploração na Educação Básica, foi desenvolvido um jogo digital interativo que reúne os grafos estudados. Para os grafos caminho e ciclo, o ambiente permite escolher o número de vértices e a quantidade de estados sem limite máximo predefinido, respeitadas as condições mínimas de cada família. Para os sólidos de Platão, o produto disponibiliza as versões com dois e três estados. Neste produto, o estudante pode experimentar estratégias, acionar vértices, acompanhar as mudanças de cores, contar movimentos, desfazer jogadas, reiniciar partidas e utilizar dicas. O recurso foi concebido para possibilitar atividades de resolução de problemas, reconhecimento de padrões, raciocínio lógico, elaboração de estratégias e investigação matemática em diferentes etapas da Educação Básica. Dessa forma, o produto educacional não aparece apenas como complemento da pesquisa: ele representa, em um ambiente interativo, as estruturas e os problemas investigados ao longo da dissertação.

This dissertation studies Lights Out, a game in which activating a vertex changes its own state as well as the states of the vertices adjacent to it. In the version investigated, each vertex cycles through three states — 0, 1, and 2, represented, respectively, by the colors red, yellow, and green — and the challenge is to transform an initially all-red configuration into an all-green configuration while using the smallest possible number of activations. The study analyzes how adjacency relations among vertices affect the solvability of the game and the strategies required to solve it. To this end, path graphs, cycle graphs, and the graphs of the five Platonic solids are investigated. For paths and cycles, extensions of the transformation under consideration to games with k states are also analyzed; among the Platonic solids, the tetrahedron, hexahedron, and icosahedron are generalized to k states, while the octahedron and dodecahedron remain restricted to the three-state mathematical analysis. As an educational product and as a means of connecting the mathematical investigation with its exploration in Basic Education, an interactive digital game was developed incorporating the graphs studied in this dissertation. For path and cycle graphs, the environment allows users to choose both the number of vertices and the number of states without a predefined maximum limit, subject to the minimum conditions of each graph family. For the Platonic solids, the product provides two-state and three-state versions. Within the environment, students can experiment with strategies, activate vertices, observe color changes, count moves, undo actions, restart games, and use hints. The resource was designed to support activities involving problem solving, pattern recognition, logical reasoning, strategy development, and mathematical investigation at different stages of Basic Education. Thus, the educational product is not merely a complement to the research; it represents, within an interactive environment, the structures and problems investigated throughout the dissertation.