A equação xy=yx e possíveis caminhos na busca por soluções

Abstract

O objeto de estudo desse trabalho é a equação x y=y x , no campo dos números reais positivos. São analisadas as condições necessárias sobre os valores reais positivos de x e y , de modo que estes números satisfaçam tal equação. São apresentados dois caminhos possíveis para a construção de suas soluções, determinadas em ambos os caminhos, por uma mesma curva parametrizada. As coordenadas que descrevem essa parametrização são analisadas de maneira a caracterizar essas soluções como inteiras ou racionais (não inteiras). A partir das soluções apresentadas, é realizada uma análise gráfica das mesmas, concentrando a maior parte dessa análise sobre o traço da curva parametrizada que descreve as soluções não triviais. Com esta análise também é possível visualizar o comportamento dessas soluções, rastreadas pelos dois caminhos apresentados no início desse trabalho. No intuito de apresentar o assunto sobre as soluções reais e positivas desta equação no Ensino Médio, ao final desta pesquisa são propostas algumas atividades que abordam métodos de resolução de equações, algébricos, geométricos e numéricos, desde o “tentativa e erro” até o método numérico da bisseção.