A equação xy=yx e possíveis caminhos na busca por soluções

Abstract

O objeto de estudo desse trabalho é a equação x y=y x , no campo dos números reais positivos. São analisadas as condições necessárias sobre os valores reais positivos de x e y , de modo que estes números satisfaçam tal equação. São apresentados dois caminhos possíveis para a construção de suas soluções, determinadas em ambos os caminhos, por uma mesma curva parametrizada. As coordenadas que descrevem essa parametrização são analisadas de maneira a caracterizar essas soluções como inteiras ou racionais (não inteiras). A partir das soluções apresentadas, é realizada uma análise gráfica das mesmas, concentrando a maior parte dessa análise sobre o traço da curva parametrizada que descreve as soluções não triviais. Com esta análise também é possível visualizar o comportamento dessas soluções, rastreadas pelos dois caminhos apresentados no início desse trabalho. No intuito de apresentar o assunto sobre as soluções reais e positivas desta equação no Ensino Médio, ao final desta pesquisa são propostas algumas atividades que abordam métodos de resolução de equações, algébricos, geométricos e numéricos, desde o “tentativa e erro” até o método numérico da bisseção.

The object of study of this work is the equation x y=y x , in the field of positive real numbers. The necessary conditions on the positive real values of x and y are analyzed, so that these numbers satisfy this equation. Two possible paths are presented for the construction of their solutions, determined in both paths, by a same parameterized curve. The coordinates that describe this parameterization are analyzed in order to characterize these solutions as integer or rational (not integer). From the solutions presented, a graphical analysis of them is performed, concentrating most of this analysis on the parameterized curve trait that describes the nontrivial solutions. With this analysis it is also possible to visualize the behavior of these solutions, traced by the two paths presented at the beginning of this work. In order to present the subject about the real and positive solutions of this equation in High School, at the end of this research are proposed some activities that approach methods of solving equations, algebraic, geometric and numerical, from "trial and error" to method number of the bisection.