Uma análise dos rastros das rodas de uma bicicleta a partir do estudo das parametrizações de curvas planas

Abstract

Em um dos casos chamado para solucionar, Sherlock Holmes tinha que decidir em que direção o ladrão havia fugido com base nos rastros deixados pelas rodas de sua bicicleta. Tal questão motivou a pesquisa que norteou este trabalho. Além de dar resposta ao problema proposto, foi criado um modelo animado de bicicleta no software GeoGebra, produzindo diversos exemplos gráficos que puderam ilustrar os resultados teóricos apresentados. Assim, inicialmente elaboramos uma abordagem geral das curvas planas parametrizadas, de modo a desenvolver seus processos de construção e verificar seus comportamentos, incluindo algumas curvas especiais estudadas por matemáticos ao longo da História da Matemática. Inserimos alguns tópicos de cálculo diferencial e integral, de modo a entender melhor o comportamento dessas curvas e obter outros resultados como, por exemplo, comprimento e área. Apresentamos também um apanhado de resultados da geometria diferencial aplicados às curvas planas, muitos dos quais foram utilizados no estudo dos rastros das rodas de uma bicicleta. Por fim, utilizando os assuntos adequados da análise do par de curvas gerado pelas rodas de uma bicicleta, elaboramos propostas de atividades para oficinas de matemática.

n one of the cases called for resolution, Sherlock Holmes had to decide in which di rection the thief had fled based on the tracks left by the wheels of his bicycle. This question motivated the research that guided this work. Besides answering the proposed problem, an animated bicycle model was created in GeoGebra, producing several graphic examples that could illustrate the theoretical results presented. Thus, we initially elaborated a general approach of the parameterized flat curves, in order to develop their construction pro cesses and verify their behavior, including some special curves studied by mathematicians throughout the History of Mathematics. We inserted some differential and integral calculus topics in order to better understand the behavior of these curves and obtain other results, such as length and area. We also present a collection of results of differential geometry applied to flat curves, many of which were used in the study of wheel tracks of a bicycle. Finally, using the appropriate subjects of the analysis of the pair of bends generated by the wheels of a bicycle, we prepared proposals for activities for math workshops.