O jogo Lights Out em grafos de poliedros

Abstract

O presente trabalho aborda um jogo combinatório conhecido por Lights Out que, originalmente, corresponde a um jogo eletrônico jogado por um único jogador em um tabuleiro representado por uma malha quadrangular 5x5 em que cada célula da malha contém um botão e uma luz indicadora. Ao pressionarmos o botão de uma célula deste tabuleiro a luz dessa respectiva célula assim como as luzes de suas células vizinhas trocam de estado, isto é, células acesas apagam-se, enquanto células apagadas se acendem. A configuração inicial admitida em todos os tabuleiros, neste trabalho, é aquela em que todas as células se encontram apagadas. O objetivo do jogo Lights Out é acionar uma sequência de células que resultem num estado final em que todas as células fiquem acesas. De forma ideal, objetivamos determinar um conjunto mínimo de células que ao serem pressionadas trocam os estados de todas as células do tabuleiro, acendendo-o completamente. Investigamos o jogo Lights Out em poliedros através da teoria de grafos, relacionando assuntos a priori desconectados. Optamos por uma abordagem não focada em atividades prontas, mas sim na investigação dos grafos de cada poliedro no jogo em si, apresentando formalmente as demonstrações das propriedades que emergem dessas investigações, deixando a cargo do(a) leitor(a) utilizar esse ferramental na produção de suas próprias atividades.

The present work addresses a combinatorial game known as Lights Out, which originally corresponds to an electronic game played by a single player on a board represented by a 5x5 quadrangular grid in which each cell of the grid contains a button and an indicator light. When we press the button on a cell on this board, the light of that respective cell, as well as the lights of its neighboring cells, change state, that is, lit cells go off, while unlit cells light up. The initial configuration accepted in all trays, in this work, is one in which all cells are turned off. The objective of the Lights Out game is to activate a sequence of cells that result in a final state in which all cells are lit. Ideally, we aim to determine a minimum set of cells that, when pressed, change the states of all cells on the board, lighting it up completely. We investigated the game Lights Out in polyhedra through graph theory, relating a priori disconnected subjects. We opted for an approach not focused on ready-made activities but rather on investigating the graphs of each polyhedron in the game itself, formally presenting demonstrations of the properties that emerge from these investigations, leaving it up to the reader to use this tool in the production of their own activities.